Fonctions (6 heures)

Tirage au sort

Ici, nous déclarerons une fonction nommée tirage qui permettra de tirer au sort un nombre entier.

Cette fonction acceptera deux paramètres, min et max, représentant respectivement la borne minimale et la borne maximale.

• Codez la fonction tirage (min, max) qui effectuera ce tirage (tirage.mjs).

Pour tester cette fonction, nous effectuerons dix tirages entre 0 et 100 (inclus).

Enfin, nous calculerons quelques statistiques sur ces dix tirages : minimum, maximum et moyenne.

• Écrivez un programme qui effectuera dix tirages successifs et affichera leurs résultats (tirages.mjs).
• Complétez le programme précédent de façon à afficher les statistiques demandées.

Tirage au sort d'une date

Au sein d'un fichier nommé date.mjs :

• Codez bissextile (a) qui déterminera si l'année a est bissextile ou non.
• Codez nombre_jours (m, a) qui retournera le nombre de jours du mois m de l'année a.

À l'aide de la fonction tirage du module tirage.mjs :

• Codez date_aleatoire () qui générera un objet représentant une date aléatoire.

Numéro du jour dans l'année

• Codez numero_jour (d) qui calculera le numéro du jour d dans l'année (date.mjs).

Nombres premiers

Dans cet exercice, nous déterminerons si un nombre \(n\) donné est premier ou non.

Pour y parvenir, vous testerez un à un les diviseurs potentiels.

Cette fonction retournera true si \(n\) est premier, false sinon.

• Quel est le nombre maximal d'itérations ?
• Sont-elles toujours toutes nécessaires ?
• Codez la fonction premier (n) qui renverra une valeur booléenne (premier.js).
• Écrivez un programme où vous testerez la primalité des 5 000 premiers entiers.

Somme des diviseurs stricts

Un diviseur strict de \(n\) est un diviseur de \(n\) distinct de \(n\).

Dans cet exercice, nous calculerons la somme des diviseurs stricts de \(n\), notée \(\sigma (n)\).

\[\sigma (4) = 1 + 2 = 3\] \[\sigma (20) = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 22\]

• Codez la fonction sigma (n) qui calculera la somme des diviseurs de \(n\) (sigma.js).

Nombres parfaits

Un nombre est dit parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs stricts.

Par exemple, \(6\) est parfait car \(1 + 2 + 3 = 6\).
Le nombre \(28\) est également parfait.

Nous intégrerons cette fonction au fichier de l'exercice précédent (sigma.js).

• Codez la fonction parfait (n) qui déterminera si \(n\) est parfait ou non.
• Affichez la liste des nombres parfaits inférieurs à 10 000.

Nombres amicaux

Deux nombres sont dits amicaux s'ils sont distincts et si chacun des deux nombres est égal à la somme des diviseurs stricts de l'autre.

Soient \(m\) et \(n\) deux entiers naturels disctincts.
Les nombres \(m\) et \(n\) sont amicaux si \(\sigma (m) = n\) et \(\sigma (n) = m\).

Par exemple, \(220\) et \(284\) sont amicaux car \(\sigma (220) = 284\) et \(\sigma (284) = 220\).

Comme pour l'exercice précédent, nous intégrerons cette fonction au fichier sigma.js.

• Codez la fonction amicaux (a, b) qui déterminera si a et b sont amicaux l'un envers l'autre.
• Affichez les paires de nombres amicaux inférieurs à 5 000.
• Quelle est la complexité de l'algorithme de recherche ?
• Proposez un algorithme de complexité quadratique.

Factorielle

La factorielle de \(n\) peut être définie par récurrence : \(0! = 1\) et \(n! = (n-1)! \times n\)

• Codez la version récursive de factorielle (n) (factorielle.js).